线性代数示例

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 7$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ 。

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解题步骤 3.1

约去 $6$ 和 $3 x + 21$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

解题步骤 3.1.2.2

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

解题步骤 3.1.2.3

从 $3 (x) + 3 (7)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

解题步骤 3.1.2.4

约去公因数。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

解题步骤 3.1.2.5

重写表达式。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x + 7}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x + 7}$ 重写为 ${(x + 7)}^{- 1}$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 7$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 7$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

解题步骤 3.4.3

使用 $x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

解题步骤 3.7

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

解题步骤 3.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$

线性代数 示例

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